物理之相对论

一、狭义相对论基础公式

1. 洛伦兹变换（惯性系 S' 相对 S 沿 x 正方向以速度 v 运动，t=t'=0 时原点重合）

坐标正变换

x' = (x - vt) / sqrt(1 - v^2/c^2)

y' = y

z' = z

t' = (t - vx/c^2) / sqrt(1 - v^2/c^2)

逆变换（S 相对 S' 速度 - v）

x = (x' + vt') / sqrt(1 - v^2/c^2)

y = y'

z = z'

t = (t' + vx'/c^2) / sqrt(1 - v^2/c^2)

符号说明：

x,y,z,t：S 系时空坐标；x',y',z',t'：S' 系；v：相对速率；c：真空中光速；sqrt ()：平方根

2. 洛伦兹因子 γ

γ = 1 /sqrt (1 - v^2/c^2)

0 ≤ v < c，γ 恒大于等于 1；v=0 时 γ=1

3. 时间膨胀

运动时钟固有时 τ（同位置两事件间隔），观测时 t

t = γ * τ

固有时：同一参考系同一地点发生两件事的时间间隔

4. 长度收缩

静止固有长度 L0（物体静止测量长度），运动观测长度 L

L = L0 / γ

只沿运动方向收缩，垂直运动方向尺寸不变

5. 相对论速度叠加（一维）

S' 中物体速度 u'，求 S 中速度 u

u = (u' + v) / (1 + v*u'/c^2)

经典力学近似：v、u' 远小于 c 时，分母≈1，u≈u'+v

6. 质速关系

m = m0 /sqrt (1-v²/c²)=γ m0

m0：静质量（物体相对参考系静止时质量）；m：运动总质量

v→0 时，sqrt (1-v²/c²)→1，m→m0，退回经典静质量

v→c 时分母趋近 0，m→无穷大，加速到 c 需要无穷能量，实物粒子达不到光速

7. 质能方程

静能

E0 = m0 * c^2

总能量

E = m * c^2 = γ * m0 * c^2

动能（相对论）

Ek = E - E0 = (γ - 1)m0c^2

8. 能量动量关系

p = mv = γm0v

E^2 = (pc)^2 + (m0*c^2)^2

p：相对论动量

二、广义相对论核心基础公式

1. 爱因斯坦场方程

Gμν + Λgμν = (8π*G/c^4)*Tμν

符号释义：

Gμν：爱因斯坦张量；Λ：宇宙学常数；gμν：度规张量；G：万有引力常量；Tμν：能量 - 动量张量

2. 史瓦西度规（静态球对称真空引力场，黑洞 / 恒星外围）

ds^2 = -(1 - 2GM/(c^2r))c^2dt^2 + dr^2/(1 - 2GM/(c^2r)) + r^2*(dθ^2 + sinθ^2*dφ^2)

ds：时空间隔；M：中心天体质量；r 径向距离；θ 极角；φ 方位角

3. 史瓦西视界半径（黑洞半径）

Rs = 2GM/c^2

4. 引力时间膨胀（弱场近似）

t2 = t1 * sqrt(1 - 2GM/(c^2*r))

引力越强（r 越小），时间流逝越慢

5.横向 / 纵向多普勒效应（光频变化）

光源运动，观测频率改变，宇宙红移基础

6.引力红移公式

f' = f・sqrt (1 - 2GM/(r c²))

光子从引力深井飞出，频率变低、波长变长

弱场光线偏折（近天体光线拐弯，太阳星光偏移）

7.史瓦西半径 (黑洞视界)

令 2GM/(Rs c²)=1 → Rs=2GM/c²

同时相对性：一个参考系同时发生的两件事，运动参考系不同时

钟慢尺缩互证：S 看 S' 钟慢尺短，S' 反向看 S 同样钟慢尺短，无矛盾

双生子佯谬定量计算（一个折返变速，不再惯性系，最终年轻）

推导

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相对性原理：惯性系物理规律相同

光速不变：任意惯性系光速 = c

时间膨胀：速度越快，时间流速越慢。

光钟静止在地面上

从地面观察，光从一边垂直打到另一边用时t₀

光钟两边距离为h

h = c·t₀

从地面观察，光钟以速度v向右运动

光从一边打到另一边用时t

从地面观察，光相对光钟走斜线。（从光钟观察为直线）

(v·t)² + h² = (c·t)²

(v·t)² + (c·t₀)² = (c·t)²

(c·t₀)² = (c·t)² - (v·t)²

(c·t)² - (v·t)² = (c·t₀)²

t²·(c² - v²) = c²·t₀²

t² = [c² / (c² - v²)] · t₀²

t² = [1 / (1 - v²/c²)] · t₀²

t = √[1/(1 - v²/c²)] · t₀

运动方向空间压缩

尺子静止在地面上，长度L₀

光往返尺子两端用时 t₀ =  (2·L₀)/c

尺子相对地面向右以速度v运动

从地面观察：

尺子长度L

光从左端打到尺子右端用时 t-=L/(c-v)

光从右端打到尺子左端用时 t+=L/(c+v)

光往返尺子两端用时 t = t- + t+ =[2c/(c² - v²)]·L

根据时间膨胀理论 t = √[1/(1 - v²/c²)] · t₀

代入计算

[2c/(c² - v²)]·L = √[1/(1 - v²/c²)] ·  (2·L₀)/c

[c/(c² - v²)]·L = √[1/(1 - v²/c²)] ·  L₀/c

[c²/(c² - v²)]·L = √[1/(1 - v²/c²)] ·  L₀

[1/(1 - v²/c²)]·L = √[1/(1 - v²/c²)] ·  L₀

L = √[1/(1 - v²/c²)] ·  L₀ / [1/(1 - v²/c²)]

L =  √[1/(1 - v²/c²)]  / [1/(1 - v²/c²)] ·  L₀

L =  1 /√[1/(1 - v²/c²)] ·  L₀

L =  1√[(1 - v²/c²)] ·  L₀

引力越大，时间流速越慢。（楼房越高，时间流速越快）

天体质量M，刚体质量m，距离r

刚体自由落体砸向天体。

万有引力 F =(M·m/r²)·G

势能 Ek= F·r = (M·m/r²)·G·r = (M·m/r)·G

求刚体砸到天体时侯的动能 E(v)

E(v,t)=f·s

f(v,t)=m·a = m·dv/dt

s(v,t)=v·dt

E(v,t)= m·dv/dt · v·dt

E(v,t)= m·v·dv

E(v)= ∫[0,v] m·v·dv

E(v)= m· ∫[0,v] v·dv

E(v)= m· {1/2 · v²}[0,v]

E(v)= m· (1/2 · v² - 1/2 * 0² )

E(v)= m· 1/2 · v²

E(v)= 1/2·m·v²

E(v)=Ek

1/2·m·v² =  (M·m/r)·G 

1/2·v² =  (M/r)·G 

v² =  (2M/r)·G 

代入时间膨胀方程

t = √[1/(1 - v²/c²)] · t₀

t = √[1/(1 -  (2M/r)·G/c²)] · t₀

t = √[1/(1 -  2M·G/c²·r)] · t₀

伽利略变换 x' = x - v t

式子含义

任意时刻 t：

小车原点在地面的位置：x₀ =v⋅t

一个物体在地面位置 = x

在小车里看这个物体位置 = x'

物体到小车原点距离 = 地面位置 − 小车原点位置

x ′=x−vt

经典力学认为：全宇宙时间统一

完整伽利略变换：

x' = x - v t

t' = t

相对论不满足 t'=t

一维洛伦兹变换

设定

S：静止地面坐标系，x 是地面坐标

S'：匀速向右跑的小车，相对地面速度 v，小车自己的坐标系 x'

t=0 时刻：两车原点重合（x=0、x'=0 碰在一起）

γ=1/sqrt (1-v²/c²)

第一步：设线性变换（时空均匀，只能一次函数）

经典伽利略：x'=x-vt，相对论修正带系数 γ

设：

x' = γ(x - v t) ——(1)

由相对性，S 相对 S' 速度 =-v，互换、v→-v：

x = γ(x' + v t') ——(2)

第二步：用光事件代入求 γ、t' 表达式

t=0 原点发光，S 系光：x=c t

S' 系同个光：x'=c t'

把 x=c t 代入 (1)：c t' = γ(c t - v t)=γ t (c-v) ——(3)

把 x'=c t' 代入 (2)：c t = γ(c t' + v t')=γ t'(c+v) ——(4)

(3)*(4)：

c² t t' = γ² t t' (c-v)(c+v)

约去 t t'

c² = γ²(c²-v²)

γ² = c²/(c²-v²)=1/(1-v²/c²)

γ = 1/sqrt (1-v²/c²)

第三步：解时间变换 t'

把 (1) 代入 (2)

x=γ[ γ(x-vt)+v t' ]

x/γ = γ x - γ v t + v t'

v t' = x/γ - γ x + γ v t

两边 ÷v，代入 γ 化简得：

t' = γ [ t - v x /c² ]

最终正变换 (S→S')

x' = γ (x - v t)

t' = γ ( t - v x / c² )

γ = 1/sqrt(1 - v²/c²)

逆变换 (S'→S，v 变 - v)

x = γ (x' + v t')

t = γ ( t' + v x' / c² )

相对论速度叠加

u'=(u-v)/(1 - u v/c²)

规避超光速，取代经典 u'=u-v

已知

S' 相对 S 沿 + x 以 v 运动

洛伦兹变换：

x = γ(x'+v t')

t = γ(t' + v x'/c²)

γ=1/√(1-v²/c²)

S 系速度 u=dx/dt，S' 系 u'=dx'/dt'

1 微分

dx = γ(dx'+v dt')

dt = γ(dt'+v dx'/c²)

2 求 u=dx/dt

u = [γ(dx'+v dt')] / [γ(dt'+v dx'/c²)]

约去 γ：

u = (dx'+v dt') / (dt'+v dx'/c²)

分子分母同除 dt'，u'=dx'/dt'

u = (u'+v)/(1+u'v/c²)

3 反解 u'

u*(1 + u'v/c²) = u'+v

u + u v u'/c² = u' + v

u-v = u' - u v u'/c²

u-v = u'(1 - u v/c²)

整理：

u' = (u-v)/(1 - u v/c²)

原式得证

4 证不会超光速

设 u=αc，v=βc，|α|<1，|β|<1

u' = c*(α-β)/(1-αβ)

证 |(α-β)/(1-αβ)| < 1

|α-β| < |1-αβ|

两边平方

α²-2αβ+β² < 1 - 2αβ + α²β²

α²+β²-α²β²-1 < 0

-(1-α²)(1-β²) < 0

|α|<1、|β|<1 → (1-α²)(1-β²)>0，式子恒成立

|u'|<c，无法超光速

5 低速退化

v<<c，uv/c²→0

u'≈u-v，退回经典伽利略变换

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